Онлайн словарь
& . 1 2 3 4 5
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Μ
А Б В Г Д Ж З И К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Э Ю Я
54

54 Национальная олимпиада Болгарии по математике

[loadfile: templates/common/google_ads.txt is empty]
 
Подробнее об олимпиаде читайте в №6,2005 журнала 'Потенциал', а также по адресу http://potential.org.ru/bin/view/Math/ArtDt200506261939PH7C03J6
= Первый день =
"1." Найдите все тройки натуральных чисел
\left( {x,y,z} \right), для которых
\sqrt{\frac2005x + y} + \sqrt{\frac2005x + z} + \sqrt{\frac2005y + z} – натуральное число.
"2." Окружности k_1 и k_2
касаются внешним образом в точке Т. Некоторая прямая пересекает k_1
в точках А и В и касается k_2 в точке Х. Прямая ХТ пересекает k_1
в точке S, и на дуге TS, не содержащей А и В, выбрана точка С. Пусть СY – такая касательная к окружности k_2 \left( {Y \in k_2 } \right) , что отрезок CY не пересекает отрезка ST. Докажите, что если I – точка пересечения прямых XY и SC , то
а) точки С, T, Y и I лежат на одной окружности;
б) точка I является центром вневписанной окружности \Delta ABC, касающейся стороны ВС.
"3." Пусть M – множество всех рациональных чисел из интервала (0;1). Существует ли подмножество A множества M такое, что любое число из M может быть представлено единственным образом в виде суммы нескольких различных (возможно и одного) чисел из A ?
= Второй день =
"4." Пусть \Delta A'B'C' получен из \Delta ABC поворотом вокруг точки С. Обозначим через М, Е и F середины отрезков BA', AC, B'C соответственно. Найдите \angle EMF, если AC \ne BC и EM = FM.
"5." Для натуральных чисел t, a и b назовём (t,a,b) ? игрой игру двух соперников, при которой числа a и b остаются неизменными, а первое число тройки своим ходом игрок может уменьшить либо на a, либо на b. Ходят по очереди. Проигрывает тот, кто первый получит отрицательное число. Докажите, что существует бесконечно много t таких, что у первого игрока есть выигрышная стратегия (t,a,b) игре при любых a и b , сумма которых равна 2005.
"6." Пусть a, b и c – такие натуральные числа, что c\left( {c^2 - c + 1} \right)
делится на ab и a + b делится на c^2 + 1. Докажите, что одно из чисел a и b равно c, а другое равно c^2 - c + 1.
= Ответы и указания =
"1." Одно из чисел равно 2 \cdot 2005, два других равны 14 \cdot 2005.
Докажите, что каждое слагаемое – число, обратное натуральному.
"2." а) Покажите, например, что S – середина дуги АВ. Тогда
\angle TCI = \angle TAS = \angle BXT = \angle TYX = \angle TYI.
б) Из подобия \Delta AXC \sim \Delta TAS
с учётом а) следует \Delta SXI \sim \Delta SIT, откуда SA = SI.
Выведите отсюда подсчётом углов, что BI и CI – биссектрисы внешних углов \Delta ABC.
"3." Не существует.
Покажите, что для такого множества из a \in {\rm A}
следует {\rm A} \cap \left( {\frac;a} \right) = \emptyset .
Тогда множество A бесконечно и для любого i a_{i + 1} = \fraca_1 2^i .
Но рациональное число с нечётным знаменателем, взаимно-простым со знаменателем a_1, не представимо в указанном виде.
"4." 60^0.
Докажите вначале, что \Delta AA'C – равносторонний.
"5." Выигрышными являются игры с t = 2004 + 2005 \cdot n, n \in N.
"6." Докажите вначале, что если для натуральных чисел x, y, n выполнено неравенство
\fracxyx + y > n,
то \fracxyx + y \ge n + \fracn^2 + 2n + 2 причём равенство выполняется при \left\{ {x,y} \right\} = \left\{ {n + 1,n^2 + n + 1} \right\}.
По условию c\left( {c^2 - c + 1} \right) = pab, a + b = q\left( {c^2 + 1} \right).
Для x = pqa, y = pqb \fracxyx + y > c - 1,
следовательно, \fracxyx + y \ge c - 1 + \fracc^2 + 1.
на заглавную О сайте10 самыхСловариОбратная связь к началу страницы
© 2008-2014

online
magazines pdf download
download magazine pdf
download ebooks pdf
XHTML | CSS
1.8.11